「刁」鑽數學考題 「難」倒國中師生

http://tw.news.yahoo.com/article/url/d/a/071206/78/pfoq.html

更新日期:2007/12/06 04:09

〔記者何玉華/板橋報導〕台灣學生數學能力在國際評比中獲得第一名,但永和國中三年級日前剛結束的第二次段考,一題數學考題難倒九成八學生,家長質疑太難,超過國中能力範圍;縣議會金蘭會議員昨天邀來土城、板橋區八位數學老師試作,時間滴答滴答過六分鐘後,終於有兩位老師解答成功。

永和國中出題老師則透過教育局表示,出題時也思考過學生的答題能力,因此前半段多是難度不高的選擇題、填充題,只有最後的三題難度較高;當初也考慮到時間的排擠性,因此安排在最後回答,避免學生浪費作答時間。

縣議會金蘭會議員金介壽、黃林玲玲、李肇南、鄭世維、黃桂蘭昨天舉行「考學生?烤老師?通通倒」記者會;金介壽說,接獲不少永和國中學生、家長反映,段考有一題數學題目超難,有學生家長在大學理工科系任教,每題都會,唯獨這一題不會,甚至是老師講解也「掛」,一整節解不出來,邊解邊罵。

黃林玲玲說,他把題目拿給就讀清華大學應數研究所的兒子看,兒子雖然成功解答,但表示不知道現在的國三生是不是已經有能力解題;她強調,考試不是要考倒學生,如果題目有三分之一的學生不會,老師就要思考,要讓孩子了解學習的能力可以解決問題。

鄭世維、李肇南質疑,是否課堂上教得越難,要讓學生去補習才學得會,他們痛斥這是「教改的失敗」;黃桂蘭也表示,段考是要幫孩子提升數學的能力,不是要考倒學生,要求各校應該要有教學領域的審題制度。

教育局主任秘書洪啟昌表示,各校目前都有審題跟出題的制度,只是實施的方法略有不同;永和國中除出題老師外,還有另一位老師就配分審題,只是沒有進行實質題目討論。

=====

    這個題目真的是爆難的,可說是小弟在國中碰過的數學難題之首,老實
說,我以前是硬背方法去解的,反正做多了,就會背了,看到題目就是反射
動作,不然怎麼考高分呢?思考?緊張得要命,競爭對手這麼多,想得愈久
,考得愈低,腦袋只有兩個念頭,要不就放棄,要不就直接"剪下"、"貼上"
,還想?沒時間啦。

    時至今日,看到這個題目,二十餘年沒見面了,我依稀記得如何解它。很
可惜,它要三道等式去解,我只能想出兩道最簡單的,第三道要畫輔助線的
已經超過我的想像,無能為力。

    拜Google之助,我找到高手的hint,把它寫在這邊,順便解一解,以免又忘
了。

    首先,假設中間要求的陰影面積為x,四塊與x相接的面積為z,另外四塊
跟正方形四邊相接的面積為w。再設正方形邊長為r,為了打字方便,令
r2=r平方=r^2=r*r
r23=r平方乘根號3=r*r*√3=r2*√3
pi=3.1415926…

方程式1:四分之一的圓面積
1/4*pi*r2=x+3z+2w   …(1)

方程式2:正方形面積
r2=x+4w+4z          …(2)

   再來要做輔助線。令x那塊區域最上面的點為N,由N向上方做垂直線,與直
線BC交叉於P點。再由N點向下做垂直線,與直線AD交於Q點。再做輔助線,由N
點向正方形右下角畫出直ND。

    所以CDNP這塊梯形面積,剪去扇形CDN,得到的就是w/2。

    又ADN為一等腰三角形,角NDQ=60度,因此,角CDN=30度。

    故三角形DNQ為直角三角形,三個角分別為30、60、90度,所以三個邊的
長度比為1:根號3:2,因此,DQ=r/2,NQ=(√3/2)*r,ND=r。

    PQ全長為r,減去NQ,得到NP=r-(√3/2)*r,也就是梯形上底的長度。

    所以CDNP梯形面積=(r-√3/2*r+r)*r/2*1/2
                        =(2r-√3/2*r)*r/4
                        =r*r/2 – √3*r*r/8
                        =r2/2 – r23/8

    CDN扇形面積=pi*r2*30/360=pi*r2/12

方程式3:w一半的面積為梯形減扇形
w/2=r2/2 + r23/8 – pi*r2/12
∴w=r2-r23/4-pi*r2/6     …(3)

把(1)*4
pi*r2=4x+8w+12z   …(4)

再把(2)*3
3r2=3x+12w+12z    …(5)

將(5)-(4)
3r2-pi*r2=-x+4w   …(6)

將(3)代入(6)
x=pi*r2-3r2+4*(r2-r23/4-pi*r2/6)
 =pi*r2-3r2+4r2-r23-(2/3)*pi*r2

∴x=(1/3)*pi*r2+r2-r2*√3
   =(1/3)*pi*(r^2)+(r^2)-(r^2)*√3

解完收工。

廣告
本篇發表於 遊戲。將永久鏈結加入書籤。

發表迴響

在下方填入你的資料或按右方圖示以社群網站登入:

WordPress.com Logo

您的留言將使用 WordPress.com 帳號。 登出 / 變更 )

Twitter picture

您的留言將使用 Twitter 帳號。 登出 / 變更 )

Facebook照片

您的留言將使用 Facebook 帳號。 登出 / 變更 )

Google+ photo

您的留言將使用 Google+ 帳號。 登出 / 變更 )

連結到 %s